二重积分∫∫xydxdy,d由y=x2及x+2y-3=0与x轴围成

Question

二重积分∫∫xydxdy,d由y=x2及x+2y-3=0与x轴围成

Answer 1

求二重积分∫∫xydxdy,d由y=x²及x+2y-3=0与x轴围成
由2x²+x-3=(2x+3)(x-1)=0,得x₁=-3/2(舍去)；x₂=1,y₂=1；由x+2y-3=0,令y=0,得x=3；
积分域D要分成两个：D₁：0≦x≦1时0≦y≦x²；D₂：1≦x≦3时0≦y≦(3-x)/2；
【D】∫∫xydxdy=【0,1】∫xdx【0,x²】∫ydy+【1,3】∫xdx【0,(3-x)/2】∫ydy
=【0,1】(1/2)∫x⁵dx+【1,3】(1/8)∫x(3-x)²dx
=(1/12)x⁶【0,1】+【1,3】(1/8)∫(9x-6x²+x³)dx
=(1/12)+(1/8)[(9/2)x²-2x³+(1/4)x⁴]【1,3】
=(1/12)+(1/8)[(81/2)-54+(81/4)-(9/2)+2-(1/4)]
=(1/12)+(1/8)[36+20-52]=(1/12)+(1/2)=7/12