已知：如图，在正方形ABCD中，AC与BD相交于O，点H在AB的延长线上，AH=AC，AG⊥CH，垂足为G，AG交BD于E，交BC于F．求证：（1）CG=12AF；（2）OE=12CF．

Question

已知：如图，在正方形ABCD中，AC与BD相交于O，点H在AB的延长线上，AH=AC，AG⊥CH，垂足为G，AG交BD于E，交BC于F．
求证：（1）CG=(1)/(2)AF；（2）OE=(1)/(2)CF．

Answer 1

证明：（1）∵AH=AC，AG⊥CH，
∴CG=(1)/(2)CH，∠BAF=90°-∠H．
∵在正方形ABCD中，∠HAC=∠ABC=90°，
∴∠BCF=90°-∠H．
∴∠BAF=∠BCG．
又∵AB=BC，
∴△ABF≌△CBH．
∴AF=CH．
∴CG=(1)/(2)AF．
（2）取CF的中点P，连接OP，
在正方形ABCD中，∠ABO=∠ACO=(1)/(2)×90°=45°．
∵AH=AC，AG⊥CH，
∴∠BAE=∠FAC，
∵∠BEF=∠ABE+∠BAF，∠BFE=∠FCA+∠FAC，
∴∠BEF=∠BFE．
∵AO=OC，
∴OP∥AF，
∴∠BOP=∠BEF，∠BPO=∠BFE．
∴∠BOP=∠BPO．
∴OE=FP，
∴OE＝(1)/(2)CF．