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如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,CE⊥BD的延长线于点E,求证:BD=2CE.
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如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,CE⊥BD的延长线于点E,求证:BD=2CE.
▼优质解答
答案和解析
证明:如图所示,延长BA,CE交于点F,
∵∠ABD+∠ADB=90°,∠CDE+∠ACF=90°,
∴∠ABD=∠ACF,
又∵AB=AC,
在Rt△ABD和Rt△ACF中,
,
∴Rt△ABD≌Rt△ACF,
∴BD=CF,
在Rt△FBE和Rt△CBE中,
∵BD平分∠ABC,
∴∠BCF=∠F,
∵∠BEC=90°,
∴∠BEF=∠BEC=90°,
∵BE=BE,
∴Rt△FBE≌Rt△CBE,
∴EF=EC,
∴CF=2CE,
即BD=2CE.
∵∠ABD+∠ADB=90°,∠CDE+∠ACF=90°,
∴∠ABD=∠ACF,
又∵AB=AC,
在Rt△ABD和Rt△ACF中,
|
∴Rt△ABD≌Rt△ACF,
∴BD=CF,
在Rt△FBE和Rt△CBE中,
∵BD平分∠ABC,
∴∠BCF=∠F,
∵∠BEC=90°,
∴∠BEF=∠BEC=90°,
∵BE=BE,
∴Rt△FBE≌Rt△CBE,
∴EF=EC,
∴CF=2CE,
即BD=2CE.
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