已知a∈R，函数f（x）=log2（1x+a），若关于x的方程f（x）-log2[（a-4）x+2a-5]=0的解集中恰有一个元素，求a的取值范围．

Question

已知a∈R，函数f（x）=log₂（(1)/(x)+a），若关于x的方程f（x）-log₂[（a-4）x+2a-5]=0的解集中恰有一个元素，求a的取值范围．

Answer 1

由f（x）-log₂[（a-4）x+2a-5]=0，
得log₂（(1)/(x)+a）-log₂[（a-4）x+2a-5]=0，
即log₂（(1)/(x)+a）=log₂[（a-4）x+2a-5]，
即(1)/(x)+a=（a-4）x+2a-5>0，①
则（a-4）x²+（a-5）x-1=0，
即（x+1）[（a-4）x-1]=0，②，
当a=4时，方程②的解为x=-1，代入①，成立；
当a=3时，方程②的解为x=-1，代入①，成立；
当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=-1或x=(1)/(a-4)，
若x=-1是方程①的解，则(1)/(x)+a=a-1>0，即a>1，
若x=(1)/(a-4)是方程①的解，则(1)/(x)+a=2a-4>0，即a>2，
则要使方程①有且仅有一个解，则1<a≤2．
综上，若方程f（x）-log₂[（a-4）x+2a-5]=0的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1<a≤2，或a=3或a=4．