已知f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3．对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

2xlnx≥-x²+ax-3对x∈（0，+∞）恒成立，
等价于a≤x+2lnx+(3)/(x)，
令h（x）=x+2lnx+(3)/(x)，x∈（0，+∞），
h′（x）=1+(2)/(x)-(3)/(x2)=((x+3)(x−1))/(x2)，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单调减，
当x=1时，h′（x）=0，
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单调增，
∴h（x）_min=h（1）=4，
∴a≤4．