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设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆上的两点,已知向量=(,),=(,),若=0且椭圆的离心率e=,短轴长为2,O为坐标原点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)试问:△AOB的面积是否为定值?
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设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆上的两点,已知向量=(,),=(,),若=0且椭圆的离心率e=,短轴长为2,O为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
【答案】分析:(1)依题意可求得b,进而根据离心率求得a,则椭圆方程可得.(2)先看当直线AB斜率不存在时,即x1=x2,y1=y2,根据=0代入求得x12-=0把点A代入椭圆方程,求得A点横坐标和纵坐标的绝对值,进而求得△AOB的面积的值;当直线AB斜率存在时:设AB的方程为y=kx+b与椭圆方程联立消去y,根据伟大定理求得x1+x2和x1x2的表达式代入=0中整理可求得2b2-k2=4代入三角形面积公式中求得求得△AOB的面积的值为定值.最后综合可得答案.(1)依题意知2b=2,∴b=1,e===∴a=2,c==∴椭圆的方程为(2)①当直线AB斜率不存在时,即x1=x2,y1=y2,∵=0∴x12-=0∴y12=4x12又A(x1,y1)在椭圆上,所以x12+=1∴|x1|=,|y1|=s=|x1||y1-y2|=1所以三角形的面积为定值.②当直线AB斜率存在时:设AB的方程为y=kx+b消去y得(k2+4)x2+2kbx+b2-4=0∴x1+x2=,x1x2=,△=(2kb)2-4(k2+4)(b2-4)>0而=0,∴x1x2+=0即x1x2+=0代入整理得2b2-k2=4S=|AB|=|b|====1综上三角形的面积为定值1.点评:本题主要考查了椭圆的应用.考查了学生分析问题和解决问题的能力.
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