如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，AC=9，∠BCA=30°，∠ADB=45°．（Ⅰ）求sin∠ABC；（Ⅱ）求BD的长度．

Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，AC=9，∠BCA=30°，∠ADB=45°．
（Ⅰ）求sin∠ABC；
（Ⅱ）求BD的长度．

Answer 1

（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，得(AB)/(sin∠BCA)＝(AC)/(sin∠ABC)，
∴sin∠ABC＝(ACsin∠BCA)/(AB)＝(9sin30°)/(5)＝(9)/(10)．
（Ⅱ）∵AD∥BC，
∴∠BAD=180°-∠ABC，
sin∠BAD＝sin(180°−∠ABC)＝sin∠ABC＝(9)/(10)，
在△ABD中，由正弦定理，得(AB)/(sin∠ADB)＝(BD)/(sin∠BAD)，
∴BD＝(ABsin∠BAD)/(sin∠ADB)＝(5×(9)/(10))/((√(2))/(2))＝(9√(2))/(2)． (AB)/(sin∠BCA)ABABABsin∠BCAsin∠BCAsin∠BCA＝(AC)/(sin∠ABC)ACACACsin∠ABCsin∠ABCsin∠ABC，
∴sin∠ABC＝(ACsin∠BCA)/(AB)＝(9sin30°)/(5)＝(9)/(10)．
（Ⅱ）∵AD∥BC，
∴∠BAD=180°-∠ABC，
sin∠BAD＝sin(180°−∠ABC)＝sin∠ABC＝(9)/(10)，
在△ABD中，由正弦定理，得(AB)/(sin∠ADB)＝(BD)/(sin∠BAD)，
∴BD＝(ABsin∠BAD)/(sin∠ADB)＝(5×(9)/(10))/((√(2))/(2))＝(9√(2))/(2)． sin∠ABC＝(ACsin∠BCA)/(AB)ACsin∠BCAACsin∠BCAACsin∠BCAABABAB＝(9sin30°)/(5)9sin30°9sin30°9sin30°555＝(9)/(10)999101010．
（Ⅱ）∵AD∥BC，
∴∠BAD=180°-∠ABC，
sin∠BAD＝sin(180°−∠ABC)＝sin∠ABC＝(9)/(10)，
在△ABD中，由正弦定理，得(AB)/(sin∠ADB)＝(BD)/(sin∠BAD)，
∴BD＝(ABsin∠BAD)/(sin∠ADB)＝(5×(9)/(10))/((√(2))/(2))＝(9√(2))/(2)． sin∠BAD＝sin(180°−∠ABC)＝sin∠ABC＝(9)/(10)999101010，
在△ABD中，由正弦定理，得(AB)/(sin∠ADB)＝(BD)/(sin∠BAD)，
∴BD＝(ABsin∠BAD)/(sin∠ADB)＝(5×(9)/(10))/((√(2))/(2))＝(9√(2))/(2)． (AB)/(sin∠ADB)ABABABsin∠ADBsin∠ADBsin∠ADB＝(BD)/(sin∠BAD)BDBDBDsin∠BADsin∠BADsin∠BAD，
∴BD＝(ABsin∠BAD)/(sin∠ADB)＝(5×(9)/(10))/((√(2))/(2))＝(9√(2))/(2)． BD＝(ABsin∠BAD)/(sin∠ADB)ABsin∠BADABsin∠BADABsin∠BADsin∠ADBsin∠ADBsin∠ADB＝(5×(9)/(10))/((√(2))/(2))5×(9)/(10)5×(9)/(10)5×(9)/(10)999101010(√(2))/(2)(√(2))/(2)(√(2))/(2)√(2)√(2)√(2)

2

22222＝(9√(2))/(2)9√(2)9√(2)9√(2)

2

22222．