如图所示，M、N、P分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的点．（Ⅰ）若BMMA=BNNC，求证：无论点P在DD1上如何移动，总有BP⊥MN；（Ⅱ）棱DD1上是否存在这样的点P，使得平面APC1⊥平面A1ACC1？

Question

如图所示，M、N、P分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB、BC、DD₁上的点．

（Ⅰ）若(BM)/(MA)=(BN)/(NC)，求证：无论点P在DD₁上如何移动，总有BP⊥MN；
（Ⅱ）棱DD₁上是否存在这样的点P，使得平面APC₁⊥平面A₁ACC₁？证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）如图所示，连接B₁M、B₁N、AC、BD，则BD⊥AC．

∵(BM)/(MA)=(BN)/(NC)，∴MN∥AC．
∴BD⊥MN．
∵DD₁⊥平面ABCD，MN⊂面ABCD，∴DD₁⊥MN．
∴MN⊥平面BDD₁．
∵无论P在DD₁上如何移动，总有BP⊂平面BDD₁，故总有MN⊥BP．
（Ⅱ）存在点P，且P为DD₁的中点，使得平面APC₁⊥平面ACC₁．

∵BD⊥AC，BD⊥CC₁，
∴BD⊥平面ACC₁．
取BD₁的中点E，连接PE，
则PE∥BD．∴PE⊥面ACC₁．
又∵PE⊂面APC₁，
∴面APC₁⊥面ACC₁．