设函数f(x)=x2+aln(1+x)有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，(Ⅰ)求a的取值范围，并讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)证明：。

Question

设函数f(x)=x ² +aln(1+x)有两个极值点x ₁ ，x ₂ ，且x ₁ ＜x ₂ ，
(Ⅰ)求a的取值范围，并讨论f(x)的单调性；
(Ⅱ)证明： 。

Answer 1

(Ⅰ)由题设知，函数f(x)的定义域是x＞-1， ，
且f′(x)=0有两个不同的根x ₁ 、x ₂ ，
故2x ² +2x+a=0的判别式△=4-8a＞0，即 ，
且 ，
又x ₁ ＞-1，故a＞0，
因此a的取值范围是 ，
当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：

因此f(x)在区间（-1，x ₁ ）和(x ₂ ，+∞)内是增函数，在区间(x ₁ ，x ₂ )是减函数。
(Ⅱ)证明：由题设和(Ⅰ)知 ，
于是 ，
设函数g(t)=t ² -2t(1+t)ln(1+t)，
则g′(t)=-2(1+2t)ln(1+t)，
当 时，g′(t)=0；当 时，g′(t)＞0；
故g(t)在区间 内是增函数，
于是，当 时， ，
因此 。