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如图,P为等腰三角形ABC的底边AB上的任意一点,PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,AD⊥BC于点D.求证:PE+PF=AD.
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如图,P为等腰三角形ABC的底边AB上的任意一点,PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,AD⊥BC于点D.求证:PE+PF=AD.
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▼优质解答
答案和解析
证明:过P作PG⊥BD于G,如图所示:![作业帮](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8ad4b31c8701a18b2b21453e982f07082938fefd.jpg)
∵BD⊥AC,PF⊥AC,
∴PG∥DF,GD∥PF,
∴四边形PGDF是平行四边形;
又∵∠GDF=90°,
∴四边形PGDF是矩形,
∴PF=GD ①,
∵四边形PGDF是矩形
∴PG∥DF,即PG∥AC,
∴∠BPG=∠C,
又∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C,
∴∠BPG=∠ABC,
在△BPE与△PBG中,
∴△BPE≌△PBG(AAS)
∴PE=BG ②,
①+②:PE+PF=BG+GD
即PE+PF=BD.
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∵BD⊥AC,PF⊥AC,
∴PG∥DF,GD∥PF,
∴四边形PGDF是平行四边形;
又∵∠GDF=90°,
∴四边形PGDF是矩形,
∴PF=GD ①,
∵四边形PGDF是矩形
∴PG∥DF,即PG∥AC,
∴∠BPG=∠C,
又∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C,
∴∠BPG=∠ABC,
在△BPE与△PBG中,
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∴△BPE≌△PBG(AAS)
∴PE=BG ②,
①+②:PE+PF=BG+GD
即PE+PF=BD.
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