已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若对任意及时，恒有成立，求实数的取值范围.

Question

已知函数 .
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）若对任意 及 时，恒有 成立，求实数 的取值范围.

Answer 1

已知函数 .
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）若对任意 及 时，恒有 成立，求实数 的取值范围.

（1）当 时， 在 上是增函数；当 时， 在 上是增函数， 在 上是减函数.
（2）

试题分析：解: （Ⅰ）    2分
①当 时，恒有 ，则 在 上是增函数； 4分
②当 时，当 时， ，则 在 上是增函数；
当 时， ，则 在 上是减函数  6分
综上，当 时， 在 上是增函数；当 时， 在 上是增函数， 在 上是减函数.  7分
(Ⅱ)由题意知对任意 及 时，
恒有 成立，等价于
因为 ，所以
由（Ⅰ）知：当 时， 在 上是减函数
所以   10分
所以 ，即
因为 ，所以
所以实数 的取值范围为    12分
点评：主要是考查了导数在研究函数中的运用，属于基础题。