已知数列{an}的各项均为正数,且满足a1^2+a2^2+a3^2+…+an^2=2^n(n∈N).（1）求a1、a2、a3的值；（2）当n∈N,n≥2时,求数列{an^2/(a(n+1)+an)}的前n项和Tn

Question

已知数列{an}的各项均为正数,且满足a1^2+a2^2+a3^2+…+an^2=2^n(n∈N).（1）求a1、a2、a3的值；（2）当n∈N,n≥2时,求数列{an^2/(a(n+1)+an)}的前n项和Tn

Answer 1

a1^2=2 a1=sqrt(2) sqrt 即开平方
a1^2+a2^2=2^2 a2=sqrt(2)
a1^2+a2^2+a3^2=2^3 a3=2
实际上 an^2=2^n-2^(n-1)=2^(n-1) an=2^[(n-1)/2] n≥2
an^2/(a(n+1)+an=2^(n-1)/{2^(n/2)+2^[(n-1)/2]}
=2^(n/2)/[2+sqrt(2)]
第一项=sqrt(2)/2
第二项=2/[2+sqrt(2)]
Tn=sqrt(2)/2+{2/[2+sqrt(2)]}*{1-2^[(n-1)/2]}/[1-2^(1/2)] 化简,即为
=2^(n/2)-2^(1/2) n≥2