已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=4和直线l：kx-y-4k+3=0（1）求证：不论k取什么值，直线和圆总相交；（2）求k取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长．

Question

已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=4和直线l：kx-y-4k+3=0
（1）求证：不论k取什么值，直线和圆总相交；
（2）求k取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长．

Answer 1

（1）证明：由直线l的方程可得y-3=k（x-4），则直线l恒通过定点（4，3），把（4，3）代入圆C的方程，得（4-3）²+（3-4）²=2＜4，
所以点（4，3）在圆的内部，所以直线l与圆C总相交．
（2）设圆心到直线l的距离为d，则 d＝(|3k−4−4k+3|)/(√(k2+(−1)2))＝(|k+1|)/(√(k2+1))，
又设弦长为L，则((L)/(2))2+d2＝r2，即  ((L)/(2))2＝4−((k+1)2)/(k2+1)=4-（1+(2k)/(k2+1)）=3-(2k)/(k2+1)≥2．
∴当k=1时，((L)/(2))2min＝2，
∴L_min=2√(2)，所以圆被直线截得最短的弦长为2√(2)．