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如图,椭圆的中心在原点,顶点分别是A1,A2,B1,B2,焦点分别为F1,F2,延长B1F2与A2B2交于点P,若∠B1PA2为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为.
题目详情
如图,椭圆的中心在原点,顶点分别是A1,A2,B1,B2,焦点分别为F1,F2,延长B1F2与A2B2交于点P,若∠B1PA2为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为___.
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▼优质解答
答案和解析
∠B1PA2是向量
与
的夹角,
设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a,b,c,
则向量
=(a,-b),
=(-c,-b),
∵∠B1PA2为钝角,∴-ac+b2<0,
把b2=a2-c2代入不等式得:
a2-ac-c2<0,∴1-e-e2<0,
即e2+e-1>0,
解得e<
或e>
,
又0<e<,∴
<e<1,
∴椭圆离心率的取值范围为(
,1).
故答案为:(
,1).
B2A2 |
F2B1 |
设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a,b,c,
则向量
B2A2 |
F2B1 |
∵∠B1PA2为钝角,∴-ac+b2<0,
把b2=a2-c2代入不等式得:
a2-ac-c2<0,∴1-e-e2<0,
即e2+e-1>0,
解得e<
-1-
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2 |
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2 |
又0<e<,∴
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2 |
∴椭圆离心率的取值范围为(
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2 |
故答案为:(
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2 |
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