如图所示，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=2a．（1）求∠ABC的度数；（2）求对角线AC的长；（3）求菱形ABCD的面积．

Question

如图所示，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=2a．

（1）求∠ABC的度数；
（2）求对角线AC的长；
（3）求菱形ABCD的面积．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB=BC=CD，AD∥BC，
∵E为AB中点，DE⊥AB，
∴在Rt△ADE中，AE=(1)/(2)AB=(1)/(2)AD，
∴∠ADE=30°，
∴∠DAB=60°，
∴∠ABC=180°-∠DAB=180°-60°=120°；
（2）如图，连接BD，交AC于点O，

∵四边形ABCD为菱形，
∴AO=CO，DO=BO，AC⊥BD，
又∵∠DAB=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=2a，
∴OB=(1)/(2)BD=a，
在Rt△ABO中，AB=2a，OB=a，
∴AO=√(3)a，
∴AC=2AO=2√(3)a；
（3）由（2）可知BD=2a，AC=2√(3)a，
∴S_菱形ABCD=(1)/(2)AC•BD=(1)/(2)×2√(3)a×2a=2√(3)a²．