设x0＞0,xn=1／2（xn-1+1／xn-1）,n=1,2,.证明数列{xn}极限存在,

Question

设x0＞0,xn=1／2（xn-1+1／xn-1）,n=1,2,.证明数列{xn}极限存在,

Answer 1

xn/xn-1=1/2(1+1/xn-1^2)
由条件,xn=1/2(xn-1+1／xn-1) ≥1
可知,xn均≥1（n=1,2,...）
因此,
xn/xn-1=1/2(1+1/xn-1^2)≤1/2(1+1)=1
又因为xn>0
可知数列{xn}是一个收敛的正数列,因此数列{xn}极限存在