背景介绍：这条分割直线既平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条直线为三角形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作

Question

背景介绍：这条分割直线既平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条直线为三角形的“等分积周线”．
尝试解决：

（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．
（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．
（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB=BC=5，AC=6．请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．

Answer 1

（1）如图（1）所示，分别作∠BAC与∠ABC的平分线AF，BE，两线交于点O，作直线CO交AB于D，直线CD即为所求；

（2）小华不会成功．
如图（2），若直线CD平分△ABC的面积，过C作CE⊥AB于E，
那么S_△ADC=S_△DBC，
∴(1)/(2)AD•CE=(1)/(2)BD•CE，
∴BD=AD，
∵AC≠BC，
∴AD+AC≠BD+BC，
∴小华不会成功；

（3）①若直线经过顶点，则AC边上的中垂线即为所求．
②若直线不过顶点，可分以下三种情况：
（a）直线与BC、AC分别交于E、F，如图1所示，
过点E作EH⊥AC于点H，过点B作BG⊥AC于点G，
易求，BG=4，AG=CG=3，
设CF=x，则CE=8-x，
由△CEH∽△CBG，可得EH=(4)/(5)，
根据面积相等，可得(1)/(2)，
∴x=3（舍去，即为①）或x=5，
∴CF=5，CE=3，直线EF即为所求直线．
（b）直线与AB、AC分别交于M、N，如图2所示，
由（a）可得，AM=3，AN=5，直线MN即为所求直线．
（c）直线与AB、BC分别交于P、Q，如图4所示
过点A作AY⊥BC于点Y，过点P作PX⊥BC于点X
由面积法可得，AY=(24)/(5)，
设BP=x，则BQ=8-x，
由相似，可得PX=(24)/(25)，
根据面积相等，可得(1)/(2)，
∴x=(8+√(14))/(2)（舍去）或x=(8-√(14))/(2)．
而当BP=(8-√(14))/(2)时，BQ=(8+√(14))/(2)，舍去．
∴此种情况不存在，
综上所述，符合条件的直线共有三条．