如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为r，点C在AB上，CD⊥OA，垂足为D，当△OCD的面积最大时，AC的长为．

Question

如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为r，点C在

AB

上，CD⊥OA，垂足为D，当△OCD的面积最大时，

AC

的长为___．

Answer 1

∵OC=r，点C在

AB

上，CD⊥OA，
∴DC=√(OC2-OD2)=√(r2-OD2)，
∴S_△OCD=(1)/(2)OD•√(r2-OD2)，
∴S△OCD2=(1)/(4)OD²•（r²-OD²）=-(1)/(4)OD⁴+(1)/(4)r²OD²=-(1)/(4)（OD²-(r2)/(2)）²+(r4)/(16)
∴当OD²=(r2)/(2)，即OD=(√(2))/(2)r时△OCD的面积最大，
∴∠OCD=45°，
∴∠COA=45°，
∴

AC

的长为：(45°πr)/(180°)=(1)/(4)πr，
故答案为：(1)/(4)πr．