如图，AB是半⊙O的直径，点C是半圆弧的中点，点D是弧AC的中点，连结BD交AC、OC于点E、F．（1）在图中与△BOF相似的三角形有个；（2）求证：BE=2AD；（3）求DEBE的值．

Question

如图，AB是半⊙O的直径，点C是半圆弧的中点，点D是弧AC的中点，连结BD交AC、OC于点E、F．
（1）在图中与△BOF相似的三角形有______个；
（2）求证：BE=2AD；
（3）求(DE)/(BE)的值．

Answer 1

（1）与△BOF相似的三角形有△BAD；△EAD；△BEC共3个．
故答案为：3；

（2）证明：如图，延长AD与BC相交于G，
∵点C是半圆弧的中点，点D是弧AC的中点，
∴∠CBE=∠GAC，
在△ACG和△BCE中
∵

∠GAC=∠CBE

AC=BC

∠ACG=∠BCE

∴△ACG≌△BCE（ASA）
∴BE=AG，而AG=2AD，
∴BE=2AD．

（3）如图，连接OD交AC于点H，
则OD⊥AC，可得：DH∥BC，
故△DHE∽△BCE，
故(DE)/(BE)=(DH)/(BC)
设BC=2x，则OD=OB=√(2)x，
故OH=x，DH=（√(2)-1）x，
则(DE)/(BE)=(√(2)-1)/(2)．