如图，直线l：y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2-2ax+4（a<0）经过点B．（1）求a的值，并写出抛物线的表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，

Question

如图，直线l：y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax²-2ax+4（a<0）经过点B．

（1）求a的值，并写出抛物线的表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
（3）经直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设B、M′到直线l′的距离分别为d₁、d₂，当d₁+d₂最大时，请直接写出此时AC的值．

Answer 1

（1）把x=0代入y=-3x+3得y=3，
∴B（0，3），
把B（0，3）代入y=ax²-2ax+a+4，
∴3=a+4，
∴a=-1，
∴y=-x²+2x+3，

（2）令y=0代入得：0=-x²+2x+3，
∴x=-1或3，
∴抛物线与x轴的交点横坐标为-1和3，
∵M在抛物线上，且在第一象限内，
∴0令y=0代入y=-3x+3，
∴x=1，
∴A的坐标为（1，0），
由题意知：M的坐标为（m，-m²+2m+3），
S=S_{四边形OAMB}-S_△AOB
=S_△OBM+S_△OAM-S_△AOB
=(1)/(2)×m×3+(1)/(2)×1×（-m²+2m+3）-(1)/(2)×1×3
=-(1)/(2)m²+(5)/(2)m
=-(1)/(2)（m-(5)/(2)）²+(25)/(8)
∴当m=(5)/(2)时，S取得最大值(25)/(8)；

（3）①由（2）可知：
当m=(5)/(2)时，y=-（(5)/(2)）²+2×(5)/(2)+3=(7)/(4)，
∴M′的坐标为（(5)/(2)，(7)/(4)）； 
②如图，
过B点作BD垂直于l′于D点，过M′点作M′E垂直于l′于E点，
则BD=d₁，M′E=d₂，
∵S_△ABM′=(1)/(2)×AC×（d₁+d₂）
当d₁+d₂取得最大值时，AC取得最小值，
∴AC⊥B M′时，AC取得最小值．
∵B（0，3）和M′（(5)/(2)，(7)/(4)）
∴BM′=(5√(5))/(4)，
∵S_△ABM′=(1)/(2)×AC×BM′=(25)/(8)，
∴AC=√(5)．