已知，BF平分△ABC的外角ABE，D为BF上一动点．（1）若DA=DC，求证：∠ABC=∠ADC．（2）在D点运动过程中，试比较BA+BC与DC+DA的大小，并说明理由．（3）若DA=DC，DG⊥CE于G，且AB=8，BC=6，求GC长．

Question

已知，BF平分△ABC的外角ABE，D为BF上一动点．

（1）若DA=DC，求证：∠ABC=∠ADC．
（2）在D点运动过程中，试比较BA+BC与DC+DA的大小，并说明理由．
（3）若DA=DC，DG⊥CE于G，且AB=8，BC=6，求GC长．

Answer 1

（1）证明：如图（1），在BE上取点M，使BM=BA，连接DM，

∵BF平分∠ABE，
∴∠ABD=∠MBD，
在△ABD和△MBD中，

AB=MB

∠ABD=∠MBD

BD=BD

，
∴△ABD≌△MBD（SAS），
∴DM=DA，∠DAB=∠DMB，
又∵DA=DC，
∴DM=DC，
∴∠DMB=∠DCB，
∴∠DAB=∠DCB，
∴∠ABC=∠ADC；
（2） BA+BC理由如下：
在（1）中可得△ABD≌△MBD，
∴AD=MD，AB=MB，
在△DMC中，由三角形三边关系可得DM+DC>MC，
∴DM+DC>MB+BC，
∴DA+DC>BA+BC，
即BA+BC（3） 如图（2），过D作DH⊥AB于点H，

∵BF平分∠ABE，
∴DG=DH，
在Rt△ADH和Rt△CDG中，

DA=DC

DH=DG

，
∴Rt△ADH≌Rt△CDG（HL），
∴AH=CG，
在Rt△DGB和Rt△DHB中，

DG=DH

DB=DB

，
∴Rt△DGB≌Rt△DHB（HL），
∴GB=BH，
设GB=BH=x，
则AB-x=CB+x，即8-x=6+x，
解得x=1，
∴CG=CB+BG=7．