锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c已和sinB=2sin(π/4+B)sin（π/4-B）（1）求角B的大小.（2）b=1,求三角形ABC的面积的最大值

Question

锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c已和sinB=2sin(π/4+B)sin（π/4-B）（1）求角B的大小.（2）b=1,求三角形ABC的面积的最大值

Answer 1

sin(π/4+B)=sin π/4*cos B+cos π/4*sin B=√2/2*(cos B+sin B)
sin(π/4-B)=sin π/4*cos B-cos π/4*sin B=√2/2*(cos B-sin B)
2sin(π/4+B)sin（π/4-B）=2*√2/2*(cos B+sin B)*√2/2*(cos B-sin B)
=cos² B-sin² B=1-2sin² B
1-2sin² B=sin B
sin B=1/2 或者 -1
B是锐角,
所以 sin B=1/2 B=30度
2）可以把AC看作一个圆的一条弦长为1,
角 B 则是AC对应的圆周角=30度.
要求三角形面积最大,底AC固定为1,
则要得到高的最大值,
高就是 B点到AC的距离,
当B在AC的垂直平分线上时,B到AC的距离最大,
所以此时,弦心角=30*2=60度,
在等腰三角形OAC中,角AOC=60度,
他是等边三角形,所以 OA=AC=1
三角形OAC中,AC上的高为 √3/2,
则三角形ABC中,AC上的高为 1+√3/2
三角形ABC的最大面积为：AC*高/2=1*(1+√3/2)/2=1/2+√3/4
有疑问可以再问.