已知函数f（x），（x∈D），若同时满足以下条件：①f（x）在D上单调递减或单调递增②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]，那么称f（x）（x∈D）为闭函数．（1）求闭函数f

Question

已知函数f（x），（x∈D），若同时满足以下条件：
①f（x）在D上单调递减或单调递增
②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]，那么称f（x）（x∈D）为闭函数．
（1）求闭函数f（x）=-x³符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数y=2x+lgx是不是闭函数？若是请找出区间[a，b]；若不是请说明理由；
（3）若y=k+√(x+2)是闭函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）∵y=-x³在R上单减，所以区间[a，b]满足

a＜b

−a3＝b

−b3＝a

解得a=-1，b=1
（2）∵函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增
假设存在满足条件的区间[a，b]，a＜b，则

2a+lga＝a

2b+lgb＝b

即

lga＝−a

lgb＝−b

∴lgx=-x在（0，+∞）有两个不同的实数根，但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx与y=-x只有一个交点
故不存在满足条件的区间[a，b]，函数y=2x+lgx是不是闭函数
（3）易知y=k+√(x+2)在[-2，+∞）上单调递增．设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组

k+√(a+2)＝a

k+√(b+2)＝b

有解，方程x=k+√(x+2)至少有两个不同的解
即方程x²-（2k+1）x+k²-2=0有两个都不小于k的不根．
∴

△＞0

f(k)＝k2−k(2k+1)+k2−2≥0

(2k+1)/(2)＞k

得−(9)/(4)＜k≤−2，即所求．
另（1）易知函数f（x）=-x³是减函数，则有

f(b)＝a

f(a)＝b

，解得

a＝−1

b＝1

，
（2）∵函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增
假设存在满足条件的区间[a，b]，a＜b，则

2a+lga＝a

2b+lgb＝b

即

lga＝−a

lgb＝−b

∴lgx=-x在（0，+∞）有两个不同的实数根，但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx与y=-x只有一个根
所以，函数y=2x+lgx是不是闭函
（3）由函数f（x）=k+√(x+2)是闭函数，易知函数是增函数，则在区间[a，b]上函数的值域也是[a，b]，说明函数f（x）图象与直线y=x有两个不同交点，令k+√(x+2)＝x，则有
k=x-√(x+2)＝(√(x+2)−(1)/(2))2=(t−(1)/(2))2−(9)/(4)，（令t=√(x+2)≥0），如图
则直线若有两个交点，则有k∈(−(9)/(4)，−2]