已知椭圆方程为y22+x2＝1，斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）．（Ⅰ）求m的取值范围；（Ⅱ）求△MPQ面积的最大值

Question

已知椭圆方程为(y2)/(2)+x2＝1，斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）．
（Ⅰ）求m的取值范围；
（Ⅱ）求△MPQ面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+1，由

y＝kx+1

(y2)/(2)+x2＝1

可得（k²+2）x²+2kx-1=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2＝(−2k)/(k2+2)，x1x2＝−(1)/(k2+2)．
可得y1+y2＝k(x1+x2)+2＝(4)/(k2+2)．…（3分）
设线段PQ中点为N，则点N的坐标为((−k)/(k2+2)，(2)/(k2+2))，
由题意有k_MN•k=-1，可得(m−(2)/(k2+2))/((k)/(k2+2))•k＝−1．可得m=(k)/(k2+1)，
又k≠0，所以0＜m＜(1)/(2)．…（6分）
（Ⅱ）设椭圆上焦点为F，
则S△MPQ＝(1)/(2)•|FM|•|x1−x2|=√(作业帮用户2017-11-12问题解析（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+1，由y＝kx+1(y2)/(2)+x2＝1可得（k2+2）x2+2kx-1=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2＝(−2k)/(k2+2)，x1x2＝−(1)/(k2+2)．可得y1+y2＝k(x1+x2)+2＝(4)/(k2+2)．由此能求出m的取值范围．（Ⅱ）设椭圆上焦点为F，则S△MPQ＝(1)/(2)•|FM|•|x1−x2|=√(2m(1−m)3)，所以△MPQ的面积为√(2)√(m(1−m)3)（0＜m＜(1)/(2)）．由此能求出△MPQ的面积的最大值．名师点评本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．考点点评：本题考查m的取值范围和求△MPQ面积的最大值．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)