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已知△AOB的顶点A在射线上,A,B两点关于x轴对称,O为坐标原点,且线段AB上有一点M满足|AM|•|MB|=3.当点A在l上移动时,记点M的轨迹为W.(Ⅰ)求轨迹W的方程;(Ⅱ)设P(-1,0),Q(2,0
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已知△AOB的顶点A在射线上,A,B两点关于x轴对称,O为坐标原点,且线段AB上有一点M满足|AM|•|MB|=3.当点A在l上移动时,记点M的轨迹为W.
(Ⅰ)求轨迹W的方程;
(Ⅱ)设P(-1,0),Q(2,0),求证:∠MQP=2∠MPQ.
(Ⅰ)求轨迹W的方程;
(Ⅱ)设P(-1,0),Q(2,0),求证:∠MQP=2∠MPQ.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)因为A,B两点关于x轴对称,
所以AB边所在直线与y轴平行.
设M(x,y),由题意,得,
所以,
因为|AM|•|MB|=3,
所以,即,
所以点M的轨迹W的方程为.
(Ⅱ)证明:设M(x0,y0)(x0>0),
因为曲线关于x轴对称,
所以只要证明“点M在x轴上方及x轴上时,∠MQP=2∠MPQ”成立即可.
以下给出“当y0≥0时,∠MQP=2∠MPQ”的证明过程.
因为点M在上,所以x0≥1.
当x0=2时,由点M在W上,得点M(2,3),
此时MQ⊥PQ,|MQ|=3,|PQ|=3,
所以,则∠MQP=2∠MPQ;
当x0≠2时,直线PM、QM的斜率分别为,
因为x0≥1,x0≠2,y0≥0,所以,且,
又tan∠MPQ=kPM,所以,且,
所以=,
因为点M在W上,所以,即y02=3x02-3,
所以tan2∠MPQ=,
因为tan∠MQP=-kQM,
所以tan∠MQP=tan2∠MPQ,
在△MPQ中,因为,且,∠MQP∈(0,π),
所以∠MQP=2∠MPQ.
综上,得当y0≥0时,∠MQP=2∠MPQ.
所以对于轨迹W的任意一点M,∠MQP=2∠MPQ成立.
所以AB边所在直线与y轴平行.
设M(x,y),由题意,得,
所以,
因为|AM|•|MB|=3,
所以,即,
所以点M的轨迹W的方程为.
(Ⅱ)证明:设M(x0,y0)(x0>0),
因为曲线关于x轴对称,
所以只要证明“点M在x轴上方及x轴上时,∠MQP=2∠MPQ”成立即可.
以下给出“当y0≥0时,∠MQP=2∠MPQ”的证明过程.
因为点M在上,所以x0≥1.
当x0=2时,由点M在W上,得点M(2,3),
此时MQ⊥PQ,|MQ|=3,|PQ|=3,
所以,则∠MQP=2∠MPQ;
当x0≠2时,直线PM、QM的斜率分别为,
因为x0≥1,x0≠2,y0≥0,所以,且,
又tan∠MPQ=kPM,所以,且,
所以=,
因为点M在W上,所以,即y02=3x02-3,
所以tan2∠MPQ=,
因为tan∠MQP=-kQM,
所以tan∠MQP=tan2∠MPQ,
在△MPQ中,因为,且,∠MQP∈(0,π),
所以∠MQP=2∠MPQ.
综上,得当y0≥0时,∠MQP=2∠MPQ.
所以对于轨迹W的任意一点M,∠MQP=2∠MPQ成立.
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