在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，btanB+btanA=-2ctanB，且a=8，△ABC的面积为43，则b+c的值为．

Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，btanB+btanA=-2ctanB，且a=8，△ABC的面积为4 √(3)，则b+c的值为___．

Answer 1

∵在△ABC中btanB+btanA=-2ctanB，
∴由正弦定理可得sinB（tanA+tanB）=-2sinCtanB，
∴sinB（tanA+tanB）=-2sinC•(sinB)/(cosB)，
∴cosB（tanA+tanB）=-2sinC，
∴cosB（(sinA)/(cosA)+(sinB)/(cosB)）=-2sinC，
∴cosB•(sinAcosB+cosAsinB)/(cosAcosB)=-2sinC，
∴cosB•(sin(A+B))/(cosAcosB)=(sinC)/(cosA)=-2sinC，
解得cosA=-(1)/(2)，A=(2π)/(3)；
∵a=8，由余弦定理可得：64=b²+c²+bc=（b+c）²-bc，①
∵△ABC的面积为4√(3)=(1)/(2)bcsinA=(1)/(2)×(√(3))/(2)bc，可得：bc=16，②
∴联立①②可得：b+c=4√(5)．
故答案为：4√(5)．