已知等差数列{an}的首项a1≠0，前n项和为Sn，且S4+a2=2S3；等比数列{bn}满足b1=a2，b2=a4（1）若a1=2，设Cn＝2log2bn•log2bn+1，求数列{cn}的前n项的和Tn；（2）在（1）的条件下，若有f（n）=log3Tn，求f

Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁≠0，前n项和为S_n，且S₄+a₂=2S₃；等比数列{b_n}满足b₁=a₂，b₂=a₄
（1）若a₁=2，设Cn＝(2)/(log2bn•log2bn+1)，求数列{c_n}的前n项的和T_n；
（2）在（1）的条件下，若有f（n）=log₃T_n，求f（1）+f（2）+…+f（n）的最大值．

Answer 1

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由S₄+a₂=2S₃，得4a₁+6d+a₁+d=6a₁+6d，
∴a₁=d，…（2分）
则a_n=a₁+（n-1）d=na₁，
∴b₁=a₂=2a₁，b₂=a₄=4a₁，
等比数列{b_n}中q＝(b2)/(b1)＝2，…（3分）
则b_n=2a₁•2^n-1=2ⁿ•a₁，…（4分）
当a₁=2时，b_n=2ⁿ⁺¹，cn＝(2)/((n+1)(n+2))＝2((1)/(n+1)−(1)/(n+2))…（6分）
则T_n=c₁+c₂+…+c_n=2((1)/(2)−(1)/(3)+(1)/(3)−(1)/(4)+…+(1)/(n+1)−(1)/(n+2))
=2((1)/(2)−(1)/(n+2))＝(n)/(n+2•)…（8分）
（2）f(n)＝log3Tn＝log3(n)/(n+2•)
∴f（1）+f（2）+…+f（n）
=log3(1)/(3)+log3(2)/(4)+…+log3(n)/(n+2)
=log3((1)/(3)•(2)/(4)•…•(n)/(n+2))=log3(2)/((n+1)(n+2))≤log3(2)/((1+1)(1+2))=-1
即f（1）+f（2）+…+f（n）的最大值为-1．…（12分）