已知正项数列an中,a1=1,a(n+1)-根号a(n+1)=an+根号an,1`数列根号an是否为等差数列,说明理由.2`求an

Question

已知正项数列an中,a1=1,a(n+1)-根号a(n+1)=an+根号an,1`数列根号an是否为等差数列,说明理由.2`求an

Answer 1

令bn=根号(an),那么bn大于等于0的
那么a(n+1)-根号a(n+1)=an+根号an就可以转换为：
b(n+1)^2-b(n+1)=bn^2+bn (^2表示平方)
移项
b(n+1)^2-bn^2=b(n+1)+bn
b(n+1)^2-bn^2=[b(n+1)+bn]*[b(n+1)-bn]（因式分解）
所以[b(n+1)+bn]*[b(n+1)-bn]=b(n+1)+bn
所以b(n+1)-bn=1
而且b1=根号下a1=1
所以数列根号an是等差数列,首项是1,公差是1（数列根号an就是数列bn）
所以根号an=1+(n-1)*1=n
an=n^2