如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C的切线CD交PQ于D，连接OC．（1）求证：△CDQ是等腰三角形；（2）如果△CDQ≌△COB，求BP：PO的值．

Question

如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C的切线CD交PQ于D，连接OC．
（1）求证：△CDQ是等腰三角形；
（2）如果△CDQ≌△COB，求BP：PO的值．

Answer 1

（1）证明：由已知得∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠Q=30°，∠BCO=∠ABC=30°；
∵CD是⊙O的切线，CO是半径，
∴CD⊥CO，
∴∠DCQ=∠BCO=30°，
∴∠DCQ=∠Q，
故△CDQ是等腰三角形．
（2）设⊙O的半径为1，则AB=2，OC=1，BC=√(3)．
∵等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，
∴CQ=BC=√(3)．
∴AQ=AC+CQ=1+√(3)，
∴AP=(1)/(2)AQ=(1+√(3))/(2)，
∴BP=AB-AP=(3−√(3))/(2)，
∴PO=AP-AO=(√(3)−1)/(2)，
∴BP：PO=√(3)．