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直线l:y=kx+1与圆c:(x-2)^2+(y-3)^2=1相交于M,N两点,若向量OM*向量ON=12,求k的值
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直线l:y=kx+1与圆c:(x-2)^2+(y-3)^2=1相交于M,N两点,若向量OM*向量ON=12,求k的值
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答案和解析
y=kx+1代入（x-2）²+（kx-2）²=1
（1+k²）x²-（4+4k）x+7=0
设MN横坐标分别为X1,X2
根据韦达定理有,x1+x2=（4 + 4k）/（1 + k²）
x1*x2=7/（1 + k²）
OM*ON= x1x2 + y1y2
=7/（1 + k²）+（kx1 + 1）（kx2 + 1）
=7/（1+k²）+k²*7/（1+k²）+k（4+4k）/（1 +k²）+1
=8+k（4+4k）/（1+k²）=12
得k（4 + 4k）/（1 + k²）= 4
解得k = 1
（1+k²）x²-（4+4k）x+7=0
设MN横坐标分别为X1,X2
根据韦达定理有,x1+x2=（4 + 4k）/（1 + k²）
x1*x2=7/（1 + k²）
OM*ON= x1x2 + y1y2
=7/（1 + k²）+（kx1 + 1）（kx2 + 1）
=7/（1+k²）+k²*7/（1+k²）+k（4+4k）/（1 +k²）+1
=8+k（4+4k）/（1+k²）=12
得k（4 + 4k）/（1 + k²）= 4
解得k = 1
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