已知直线Ax+By+C=0与圆O：x^2+y^2=4相交于M,N两点,若C^2=A^2+B^2则向量OM乘向量ON=?

Question

已知直线Ax+By+C=0与圆O：x^2+y^2=4相交于M,N两点,若C^2=A^2+B^2则向量OM乘向量ON=?

Answer 1

设M(x1,y1),N(x2,y2)
则OM点乘ON=x1x2+y1y2
由方程Ax＋By＋C＝0与x2＋y2＝4
消去y:(A^2+B^2)x^2+2ACx+(C^2-4A^2)=0
==>x1x2=(C^2-4A^2)/(A^2+B^2)
同理,消去x可得：y1y2=(C^2-4B^2)/(A^2+B^2)
x1x2+y1y2=(2C^2-4A^2-4B^2)/(A^2+B^2)
又C2＝A2＋B2,得：x1x2+y1y2=-2
即OM向量乘ON向量（O为坐标原点）等于-2