设A是n阶矩阵,且满足AAT=I,|A|=-1,证明|I+A|=0（那个AAT中T为转置）

Question

设A是n阶矩阵,且满足AAT=I,|A|=-1,证明|I+A|=0
（那个AAT中T为转置）

Answer 1

A是一个正交矩阵）
对A*At＝I两边同时左乘A(-1),A(-1)表示A的逆矩阵.
可得：At＝A(-1)
因为（I＋A）=det（A*A(-1)+A）
=detA*det（A(-1)+I）
＝－（A(-1)+I）
＝－（At+I）
先观察(I+A)与det(At+I)
令B=I+A,显然Bt=It+At=I+At（显然I的转置It＝I）
所以上式变成B=-det(Bt)
由行列式性质可得：B=(Bt)
所以(B)=0,即(I+A)=0