已知线段BB′=4，直线l垂直平分BB′，交BB′于点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点P、P′，使OP•OP′=9，建立适当的坐标系，求直线BP与直线B′P′的交点M的轨迹方程．

Question

已知线段BB′=4，直线l垂直平分BB′，交BB′于点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点P、P′，使OP•OP′=9，建立适当的坐标系，求直线BP与直线B′P′的交点M的轨迹方程．

Answer 1

以O为原点，BB′为yy轴，l为xxx轴建立如图所示直角坐标系，则B（0，2），B′（0，-2），
设P（a，0），a≠0，则由OP•OP′=9，得P′（(9)/(a)，0），
直线BP的方程为(x)/(a)+(y)/(2)=1，即2x+ay-2a=0，
直线B′P′的方程为(x)/((9)/(a))+(y)/(-2)=1，即2ax-9y-18=0．
设M（x，y），联立

2x+ay-2a=0

2ax-9y-18=0

，解得

x=(18a)/(a2+9)

y=(2a2-18)/(a2+9)

，
消去a，可得4x²+9y²=36（x≠0）．
∴点M的轨迹是长轴长为6，短轴长为4的椭圆（除去点B、B′）．