已知函数f(x)=(1/x)-(1/a)(a>0,x>0)1)若f(x)在[1,2]上的最小值为1/4,求实数a的值；2）若存在m,n∈（0,+∞）,使f(x)在[m,n]上的值域为[-n,-m],求实数a的取值范围

Question

已知函数f(x)=(1/x)-(1/a) (a>0,x>0)
1)若f(x)在[1,2]上的最小值为1/4,求实数a的值；
2）若存在m,n∈（0,+∞）,使f(x)在[m,n]上的值域为[-n,-m],求实数a的取值范围

Answer 1

1)f(x)在定义域上单调递减,所以f(2)=1/4,a=4
2)f(x)在定义域上单调递减,所以f(m)=-m,f(n)=-n
f(m)=(1/m)-(1/a)=-m
a=m/(m^2+1)=1/(m+1/m)
f(n)=(1/n)-(1/a)=-n
a=n/(n^2+1)=1/(n+1/n)
1/(m+1/m)=1/(n+1/n)
m-n=1/n-1/m=(m-n)/mn
m=n(舍) 或 mn=1(m,n不为1时)
因为m>0
所以m+1/m≥2
等号条件为m=1/m,即m=1时所以舍掉
m+1/m>2
a=1/(m+1/m)<1/2