已知函数f（x）=xlnx+mx（m∈R）的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为2．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）设g（x）=f(x)-xx-1，讨论g（x）的单调性；（Ⅲ）已知m，n∈N*且m＞n＞1，证明：mnnm＞nm

Question

已知函数f（x）=xlnx+mx（m∈R）的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为2．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）设g（x）=(f(x)-x)/(x-1)，讨论g（x）的单调性；
（Ⅲ）已知m，n∈N^*且m＞n＞1，证明：(mn)/(nm)＞(n)/(m)．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=xlnx+mx，所以f′（x）=1+lnx+m，
由图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为2，
即有f′（1）=1+ln1+m=2，
解得m=1；
（Ⅱ）g(x)=(f(x)-x)/(x-1)=(xlnx)/(x-1)(x＞0，x≠1)，
所以g′（x）=(x-1-lnx)/((x-1)2)，
设h（x）=x-1-lnx，h′（x）=1-(1)/(x)，
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）是增函数，h（x）＞h（1）=0，
所以g′(x)=(x-1-lnx)/((x-1)2)＞0，故g（x）在（1，+∞）上为增函数；          
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，h（x）＞h（1）=0，
所以g′（x）=(x-1-lnx)/((x-1)2)＞0，故g（x）在（0，1）上为增函数；
所以g（x）在区间（0，1）和（1，+∞）都是单调递增的．                     
（Ⅲ）证明：由已知可知要证(mn)/(nm)＞(n)/(m)，即证(lnn)/(m)-(lnm)/(n)＞lnn-lnm，
即证(n-1)/(n)lnm＞(m-1)/(m)lnn，即证(mlnm)/(m-1)＞(nlnn)/(n-1)，即证g（m）＞g（n），
又m＞n＞1（m，n∈N^*），由（2）知g（m）＞g（n），
成立，所以(mn)/(nm)＞(n)/(m)．