已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an=1-2Sn，（n∈N*）（Ⅰ）证明数列{bn}为等比数列；（Ⅱ）设bn=n（an-1），求数列{bn}的前n项和Tn．

Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a_n=1-2S_n，（n∈N^*）
（Ⅰ）证明数列{b_n}为等比数列；
（Ⅱ）设b_n=n（a_n-1），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（I）证明：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a_n=1-2S_n，
∴n≥2时，a_n-1=1-2S_n-1，
两式相减得：a_n-a_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2a_n，
∴(an)/(an−1)＝(1)/(3)，n≥2，
又n=1时，a_n=1-2S₁=1-2a₁，解得a1＝(1)/(3)，
∴数列{a_n}为首项为(1)/(3)，公比为(1)/(3)的等比数列．
（II）由（I）知an＝(1)/(3n)，
∴b_n=n（a_n-1）=n•(1)/(3n)−n，
∴T_n=（1×(1)/(3)−1）+（2×(1)/(32)−2）+…+（n•(1)/(3n)−n）
=（1×(1)/(3)+2×(1)/(32)+…+n×(1)/(3n)）-(n(n+1))/(2)，
令P_n=1×(1)/(3)+2×(1)/(32)+…+n×(1)/(3n)，（1）
(1)/(3)Pn=1×(1)/(32)+2×(1)/(33)+…+n×(1)/(3n+1)，（2）
（1）-（2），得(2)/(3)Pn=(1)/(3)+(1)/(32)+(1)/(33)+…+(1)/(3n)-n×(1)/(3n+1)
=((1)/(3)(1−(1)/(3n)))/(1−(1)/(3))-n×(1)/(3n+1)
=(1)/(2)−(1)/(2)×(1)/(3n)−n×(1)/(3n+1)．
∴P_n=(3)/(4)−(n+9)/(3n+1)．
∴Tn＝(3)/(4)−(n+9)/(3n+1)−(n(n+1))/(2)．