△ABC为等腰三角形,且△ABC的面积恰好等于BC平方的四分之一,求角BAC的所有可能取值

Question

△ABC为等腰三角形,且△ABC的面积恰好等于BC平方的四分之一,求角BAC的所有可能取值

Answer 1

等腰有三种情况：
①AB=AC,设∠BAC=2θ,BC=2a,BC边上的高为h=a·ctgθ,
△ABC面积S=(2a·h)/2=ah=a²ctgθ=BC²/4=a²,当ctgθ=1即θ=45°时成立,∠BAC=2θ=90°；

②AB=BC=a,设∠BAC=θ,则∠ABC=π-2θ,
△ABC面积S=(a²sin(π-2θ))/2=(a²sin2θ)/2=a²/4,当sin2θ=1/2或sin(π-2θ)=1/2时成立,∠BAC=θ=15°或75°.

③AC=BC=a,设∠BAC=θ,则∠ACB=π-2θ,同②可得,∠BAC=θ=15°或75°.