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已知O是锐角△ABC的外心，若OC＝xOA+yOB（x，y∈R），则（）A．x+y≤-2B．-2≤x+y＜-1C．x+y＜-1D．-1＜x+y＜0
题目详情
已知O是锐角△ABC的外心，若
＝x
+y
（x，y∈R），则（ ）
A．x+y≤-2
B．-2≤x+y＜-1
C．x+y＜-1
D．-1＜x+y＜0
| OC |
| OA |
| OB |
A．x+y≤-2
B．-2≤x+y＜-1
C．x+y＜-1
D．-1＜x+y＜0
▼优质解答
答案和解析
∵O是锐角△ABC的外心，
∴O在三角形内部，不妨设锐角△ABC的外接圆的半径为1，
又
＝x
+y
，
∴|
|＝|x
+y
|，
可得
2＝x2
2+y2
2+2xy
•
，
而
•
＝|
|•|
|cos∠A0B＜|
|•|
|＝1．
∴1＝x2+y2+2xy
•
＜x2+y2+2xy，
∴x+y＜-1或x+y＞1，如果x+y＞1则O在三角形外部，三角形不是锐角三角形，
∴x+y＜-1，
故选：C．
∴O在三角形内部，不妨设锐角△ABC的外接圆的半径为1，
又
| OC |
| OA |
| OB |
∴|
| OC |
| OA |
| OB |
可得
| OC |
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
而
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
∴1＝x2+y2+2xy
| OA |
| OB |
∴x+y＜-1或x+y＞1，如果x+y＞1则O在三角形外部，三角形不是锐角三角形，
∴x+y＜-1，
故选：C．
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