如图，在锐角△ABC中，AD是BC边上的高线，矩形EFGH的顶点E，H分别在AB，AC上，F，G在BC边上，AD与EH相交于点K．（1）如图1，若BC=10，AD=5，EH=2EF，求EF，EH的长．（2）如图2，若BC=AD=8，求矩形EFGH

Question

如图，在锐角△ABC中，AD是BC边上的高线，矩形EFGH的顶点E，H分别在AB，AC上，F，G在BC边上，AD与EH相交于点K．
（1）如图1，若BC=10，AD=5，EH=2EF，求EF，EH的长．
（2）如图2，若BC=AD=8，求矩形EFGH的周长．
（3）如图3，若四边形EFGH是边长为4的正方形，且S_△AEH：S_△HGC：S_△BEF=1：1：3，求△ABC的面积．

Answer 1

（1）∵矩形EFGH，
∴EH∥BC，AK=AD-KD=AK-EF，
∴(AK)/(AD)=(EH)/(BC)=(AD-EF)/(AD)，
∵EH=2EF，
∴AK=EF=(5)/(2)，EH=2EF=5；
（2）∵(EF)/(AD)=(BF)/(BD)，(GH)/(AD)=(CG)/(CD)，
∴(BF)/(BD)=(CG)/(CD)=(EF)/(AD)，
∴(FG)/(BC)=1-(BF+CG)/(BC)，
∴(EF)/(AD)+(FG)/(BC)=1，
∵AD=BC
∴EF+FG=AD=8，
∴矩形EFGH的周长为16．
（3）设AK=x，
∵S_△AEH：S_△HGC：S_△BEF=1：1：3，
∴AK：GC：BF=1：1：3，
∵(AK)/(AD)=(EH)/(BC)，
∴(x)/(x+4)=(4)/(3x+x+4)，
解得x=2，
∴△ABC的面积为(1)/(2)BC•AD=(1)/(2)×12×6=36．