（2006•韶关）如图，在△ABC中，∠C=60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为23．（1）求证：△CDE∽△CBA；（2）求DE的长．

Question

（2006•韶关）如图，在△ABC中，∠C=60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为2√(3)．
（1）求证：△CDE∽△CBA；
（2）求DE的长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABED为⊙O的内接四边形，
∴∠CED=∠A（或∠CDE=∠B）；
又∠C=∠C，
∴△CDE∽△CBA．

（2）解法1：连接AE．
由（1）得(DE)/(BA)＝(CE)/(CA)，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=∠AEC=90°．
在Rt△AEC中，∵∠C=60°，∴∠CAE=30°；
∴(DE)/(BA)＝(CE)/(CA)＝(1)/(2)，即DE=2√(3)．

解法2：连接DO，EO．
∵AO=DO=OE=OB，
∴∠A=∠ODA，∠B=∠OEB；
∵四边形ABED为⊙O的内接四边形，
∴∠A=∠CED，∠B=∠CDE；
而∠CDE+∠CED=120°，∠A+∠B+∠ADE+∠DEB=360°，
∴∠ODE+∠OED=120°
则∠DOE=60°，
∴△ODE为等边三角形；
∴DE=OB=2√(3)．