如图，已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB⊥AC，CD⊥BD．（1）求证：△AOD∽△BOC；（2）若sin∠ABO=23，S△AOD=4，求S△BOC的值．

Question

如图，已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB⊥AC，CD⊥BD．
（1）求证：△AOD ∽ △BOC；
（2）若 sin∠ABO=(2)/(3) ，S _△AOD =4，求S _△BOC 的值．

Answer 1

（1）证明：∵AB⊥AC，CD⊥BD，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
又∵∠AOB=∠DOC，
∴△AOB ∽ △DOC，
∴ (AO)/(DO) =(BO)/(CO) ，
∴ (AO)/(BO) =(DO)/(CO) ，
又∵∠AOD=∠BOC，
∴△AOD ∽ △BOC；

（2）∵∠BAC=90°， sin∠ABO=(2)/(3) ，
∴ (AO)/(BO) =(2)/(3) ，
∵△AOD ∽ △BOC，
∴ (S△AOD)/(S△BOC) =((AO)/(BO) ) 2 ，
∵S _△AOD =4，
∴ (4)/(S△BOC) =((2)/(3) ) 2 ，
∴S _△BOC =9．