在△ABC中，以AB为斜边，作直角△ABD，使点D落在△ABC内，∠ADB=90°．（1）如图1，若AB=AC，∠BAD=30°，AD=63，点P、M分别为BC、AB边的中点，连接PM，求线段PM的长；（2）如图2，若AB=AC，把△ABD绕

Question

在△ABC中，以AB为斜边，作直角△ABD，使点D落在△ABC内，∠ADB=90°．

（1）如图1，若AB=AC，∠BAD=30°，AD=6√(3)，点P、M分别为BC、AB边的中点，连接PM，求线段PM的长；
（2）如图2，若AB=AC，把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，连接ED并延长交BC于点P，求证：BP=CP
（3）如图3，若AD=BD，过点D的直线交AC于点E，交BC于点F，EF⊥AC，且AE=EC，请直接写出线段BF、FC、AD之间的关系（不需要证明）．

Answer 1

（1） ∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，AD=6√(3)，
∴cos∠BAD=(AD)/(AB)，
∴AB=(AD)/(cos∠BAD)=(6√(3))/(cos30°)=12，
∴AC=AB=12，
∵点P、M分别为BC、AB边的中点，
∴PM=(1)/(2)AC=6，
（2）如图2，

在截取ED上截取EQ=PD，
∵∠ADB=90°，
∴∠BDP+∠ADE=90°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，
∴∠AEC=∠ADB=90°
∵∠AED+∠PEC=90°，
∴∠BDP=∠PEC，

在△BDP和△CEQ中，

PD=QE

∠BDP=∠PEC

BD=CE

，
∴△BDP和△CEQ，
∴BP=CQ，∠DBP=∠QCE，
∵∠CPE=∠BDP+∠DBP，∠PQC=∠PEC+∠QCE，
∴∠EPC=∠PQC，
∴PC=CQ，
∴BP=CP
（3）BF²+FC²=2AD²，
理由：如图3，

连接AF，∵EF⊥AC，且AE=EC，
∴FA=FC，∠FAC=∠FCA，
∵EF⊥AC，且AE=EC，
∴∠DAC=∠DCA，DA=DC，
∵AD=BD，
∴BD=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∵∠FAC=∠FCA，∠DAC=∠DCA，
∴∠DAF=∠DCB，
∴∠DAF=∠DBC，
∴∠AFB=∠ADB=90°，
在RT△ADB中，DA=DB，
∴AB²=2AD²，
在RT△ABB中，BF²+FA²=AB²=2AD²，
∵FA=FC
∴BF²+FC²=2AD²．