已知an为等比数列,第一问求证an的平方是等比数列,第二问求证数列an×a(n＋1为等比数列)

Question

已知an为等比数列,第一问求证an的平方是等比数列,第二问求证数列an×a(n＋1为等比数列)

Answer 1

(1)设公比为q,则有a(n+1)/an=q
所以 a²(n+1)/a²n=[a(n+1)/an]²=q²,
从而{a²n}也是等比数列,公比为q².
(2)令bn=an·a(n+1),则 b(n+1)=a(n+1)·a(n+2)
于是 b(n+1)/bn=a(n+1)·a(n+2)/[an·a(n+1)]=a(n+2)/an=q²
从而{an·an(n+1)}也是等比数列,公比为q².