已知各项均为正数的等比数列{an}，其公比q>1，且满足a2a4=64，a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求a3；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设An=an+1-2，Bn=log22an+1，试比较An与Bn的大小，并证明你的

Question

已知各项均为正数的等比数列{a_n}，其公比q>1，且满足a₂a₄=64，a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（1）求a₃；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设A_n=a_n+1-2，B_n=log

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a_n+1，试比较A_n与B_n的大小，并证明你的结论．

Answer 1

（1）a₂a₄=64，则a₃²=64，即有a₃=8，（负数舍去）；
 （2）a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
∴2（a₃+2）=a₂+a₄，即20=(8)/(q)+8q，
解得q=2或q=(1)/(2)（舍去），
∴数列{an}的通项公式为an=a3qn-3=8•2n-3=2n．
（3）由（2）得 An=2n+1-2，Bn=lo

g

2 2

2n+1=(n+1)2，
当n=1时，A₁=2，B₁=（1+1）²=4，A₁<B₁；
当n=2时，A₂=6，B₂=（2+1）²=9，A₂<B₂；
当n=3时，A₃=14，B₃=（3+1）²=16，A₃<B₃；
当n=4时，A₄=30，B₄=（4+1）²=25，A₄>B₄；
当n=5时，A₅=62，B₅=（5+1）²=36，A₅>B₅；
由上可猜想，当1≤n≤3时，A_n<B_n；当n≥4时，A_n>B_n．
下面用数学归纳法给出证明：
①当n=4时，已验证不等式成立．
②假设n=k（k≥4）时，A_k>B_k．成立，即2^k+1-2>（k+1）²，
当n=k+1时，A_k+1=2^k+2-2=2•（2^k+1-2）+2>2•（k+1）²+2
=2k²+4k+4>k²+4k+4=[（k+1）+1]²=B_k+1，
即当n=k+1时不等式也成立，
由①②知，当n≥4（n∈N^*）A_n>B_n；
综上，当1≤n≤3时，A_n<B_n；当n≥4时，A_n>B_n．