（2011•河南模拟）已知抛物线C：y=mx2（m＞0），焦点为F，直线2x-y+2=0交抛物线C于A、B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q，（1）若抛物线C上有一点R（xR，2）到焦点F的距

Question

（2011•河南模拟）已知抛物线C：y=mx²（m＞0），焦点为F，直线2x-y+2=0交抛物线C于A、B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q，
（1）若抛物线C上有一点R（x_R，2）到焦点F的距离为3，求此时m的值；
（2）是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线C的焦点F(0，(1)/(4m))，
∴|RF|＝yR+(1)/(4m)＝2+(1)/(4m)＝3，得m＝(1)/(4)．
（2）联立方程

y＝mx2

2x−y+2＝0

，
消去y得mx²-2x-2=0，设A（x₁，mx₁²），B（x₂，mx₂²），
则

x1+x2＝(2)/(m)

x1•x2＝−(2)/(m)

（*），
∵P是线段AB的中点，∴P((x1+x2)/(2)，(mx21+mx22)/(2))，即P((1)/(m)，yp)，∴Q((1)/(m)，(1)/(m))，
得

QA

＝(x1−(1)/(m)，m

x

21

−(1)/(m))，

QB

＝(x2−(1)/(m)，m

x

22

−(1)/(m))，
若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则

QA

•

QB

＝0，
即(x1−(1)/(m))•(x2−(1)/(m))+(m

x

21

−(1)/(m))(m

x

22

−(1)/(m))＝0，
结合（*）化简得−(4)/(m2)−(6)/(m)+4＝0，
即2m²-3m-2=0，∴m=2或m＝−(1)/(2)（舍去），
∴存在实数m=2，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形．