定义在R上的函数f(x)满足：如果对任意x1、x2∈R，都有f()≤［f(x1)+f(x2)］，则称函数f(x)是R上的下凸函数.已知二次函数f(x)=ax2+x(a∈Ra≠0).（1）求证：当a＞0时，函数f

Question

定义在 R 上的函数f(x)满足：如果对任意x ₁ 、x ₂ ∈ R ，都有f( )≤ ［f(x ₁ )+f(x ₂ )］，则称函数f(x)是 R 上的下凸函数.已知二次函数f(x)=ax ² +x(a∈ R a≠0).

（1）求证：当a＞0时，函数f(x)是下凸函数;

（2）如果x∈［0 1］时，|f(x)|≤1，试求实数a的范围.

Answer 1

（1）证明：对任意x1、x2∈R ∵a＞0 ∴［f(x1)+f(x2)］-2f()=ax12+x1+ax22+x2-2［a()2+）］=ax12+ax22-a(x12+x22+2x1x2)=a(x1-x2)2≥0.∴f()≤［f(x1)+f(x2)］.∴函数f(x)是下凸函数.(2)由|f(x)|≤1-1≤f(x)≤1-1≤ax2+x≤1.      (*)当x=0时，a∈R;当x∈(0 1)时，(*)式即恒成立 即恒成立.∵x∈(0 1] ∴≥1.∴当=1时，-(+)2+取得最大值-2；当=1时，(-)2-取得最小值0.∴-2≤a≤0 结合a≠0，得-2≤a＜0.综上，a的范围是［-2 0).