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高等代数证明题设f(x)是一个整系数多项式,试证:如果f(0)与f(1)都是奇数,那么f(x)不能有整数根.
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高等代数证明题
设f(x)是一个整系数多项式,试证:如果f(0)与f(1)都是奇数,那么f(x)不能有整数根.
设f(x)是一个整系数多项式,试证:如果f(0)与f(1)都是奇数,那么f(x)不能有整数根.
▼优质解答
答案和解析
用反证法,假设f(x)=0有整数根x=n,
那么f(x)可以分解成f(x)=(x-n)P(x),其中P(x)是整系数多项式,
因为f(0)=-nP(0)是奇数,所以n是奇数,
因为f(1)=(1-n)P(1)是奇数,所以1-n是奇数,n是偶数,
矛盾,所以f(x)不能有整数根.
那么f(x)可以分解成f(x)=(x-n)P(x),其中P(x)是整系数多项式,
因为f(0)=-nP(0)是奇数,所以n是奇数,
因为f(1)=(1-n)P(1)是奇数,所以1-n是奇数,n是偶数,
矛盾,所以f(x)不能有整数根.
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