已知函数f（x）=ex[13x3-2x2+（a+4）x-2a-4]，其中a∈R，e为自然对数的底数．（1）若函数f（x）的图象在x=0处的切线与直线x+y=0垂直，求a的值；（2）关于x的不等式f（x）<-43ex在（-∞，2）上恒成

Question

已知函数f（x）=e^x[(1)/(3)x³-2x²+（a+4）x-2a-4]，其中a∈R，e为自然对数的底数．
（1）若函数f（x）的图象在x=0处的切线与直线x+y=0垂直，求a的值；
（2）关于x的不等式f（x）<-(4)/(3)e^x在（-∞，2）上恒成立，求a的取值范围；
（3）讨论函数f（x）极值点的个数．

Answer 1

（1）函数f（x）=e^x[(1)/(3)x³-2x²+（a+4）x-2a-4]的导数为
f′（x）=e^x•（(1)/(3)x³-x²+ax-a），
图象在x=0处的切线斜率为-a，
切线与直线x+y=0垂直，可得-a=1，
解得a=-1；
（2）关于x的不等式f（x）<-(4)/(3)e^x在（-∞，2）上恒成立，
即为(1)/(3)x³-2x²+（a+4）x-2a-(8)/(3)<0在x<2恒成立．
即有(1)/(3)x³-2x²+4x-(8)/(3)<a（2-x），
令x-2=t（t<0），可得-a<((1)/(3)(t+2)3-2(t+2)2+4(t+2)-(8)/(3))/(t)，
令g（t）=((1)/(3)(t+2)3-2(t+2)2+4(t+2)-(8)/(3))/(t)，t<0，
g′（t）=(2[(t+2)2(t+1)-3(t2-4)-8])/(3t2)=(2t)/(3)<0，
即g（t）在t<0递减，可得g（t）>0，
可得-a≤0，即a的取值范围是[0，+∞）；
（3）由f（x）的导数为f′（x）=e^x•（(1)/(3)x³-x²+ax-a），
令h（x）=(1)/(3)x³-x²+ax-a，由h（x）=0，
即为a（x-1）=x²-(1)/(3)x³，
若x=1时，方程不成立；
若x≠1时，a=(x2-(1)/(3)x3)/(x-1)，
令m=x-1，可得h（m）=((m+1)2-(1)/(3)(m+1)3)/(m)
=((2-m)(m+1)2)/(3m)=(2-m3+3m)/(3m)，
h′（m）=(-2-2m3)/(3m2)，
当m>0即x>1时，h（m）递减，m<-1时，h（m）递增，
-1<m<0时，h（m）递减．

作业帮用户 2017-03-19