设总体X服从指数分布f(x,λ)=λe^(-λx),x>=0,λ>0;0,x

Question

设总体X服从指数分布f(x,λ)=λe^(-λx),x>=0,λ>0;0,x<0.
试求λ的极大似然估计.若某电子元件的使用寿命服从该指数分布,现随机抽取18个电子元件,测得寿命数据如下(单位:小时)
16,19,50,68,100,130,140,270,280,340,410,450,520,620,190,210,800,1100
求λ的估计值

Answer 1

设X1,X2,...,Xn是X的简单随机样本.
似然函数L(λ)=λe^(-λx1)*...*λe^(-λxn)
=λ^n*e^[-λ(x1+...+xn)]
对数似然函数lnL(λ)=nlnλ-λ(x1+...+xn)
dlnL(λ)/dλ=n/λ-(x1+...+xn)=0,
解得λ的极大似然估计值为
λˇ=n/(x1+...+xn)=1/xˉ.
xˉ=(16+19+...+1100)/18=317.39
λ的估计值λˇ=1/317.39=0.00315.