已知二次函数f（x）同时满足条件：（1）f（1+x）=f（1-x）；（2）f（x）的最大值为15；（3）f（x）=0的两根立方和等于17,求f（x）的解析式,

Question

已知二次函数f（x）同时满足条件：（1）f（1+x）=f（1-x）；（2）f（x）的最大值为15；（3）f（x）=0的两根立方和等于17,求f（x）的解析式,

Answer 1

f(1 + x) = f(1 - x)
x = 1为对称轴
f(x) = a(x - 1)² + d
最大值为d = 15,a < 0
y = a(x - 1)² + 15
f(x) = ax² - 2ax + a + 15 = 0
x₁ + x₂ = 2,x₁x₂ = (a + 15)/a
x₁³ + x₂³ =(x₁ + x₂)(x₁² - x₁x₂ + x₂²)
= 2[(x₁ + x₂)² - 3x₁x₂]
= 2[2² - 3(a + 15)/a] =17
a = -6
f(x) = -6x² + 12x + 9